StatEL : Test d'analyse de variance (ANOVA) pour séries dépendantes
 
Cette commande de StatEL lance le test de comparaison des moyennes (d'un paramètre) issues d'un même groupe de sujets soumis à différents traitements ou étudiés à différents moments.

Exemple : on dispose d'un médicament (déjà éprouvé) pour soigner une pathologie et on souhaite connaître l'efficacité de 2 nouvelles molécules par rapport à ce médicament. On utilise un échantillon de sujets que l'on soumet successivement aux 3 molécules à tester (ainsi, chaque sujet devient son propre "témoin"). On mesure un paramètre quantitatif pertinent (c'est à dire censé être influencé par la prise des molécules testées) chez chacun des sujets lors des 3 protocoles, ce qui nous conduit à disposer de 3 séries de mesures dont on peut calculer les moyennes. Ainsi, supposons que l'effectif de l'échantillon est de 30 sujets, on dispose de 30 triplets de mesures. Mais contrairement à l'Anova pour séries indépendantes où les sujets sont tous différents, dans l'Anova pour séries dépendantes les mesures sont liées au sein de chaque triplet. L'objectif de l'Anova est de comparer les moyennes des 3 séries de mesure afin de savoir si les différences entre les 3 moyennes sont significatives (c'est à dire liées à l'influence des différents traitements subis par les 3 groupes) ou simplement dûs au fait du hasard.

1 - Principes de l'analyse de variance pour séries dépendantes :

On dispose de plusieurs échantillons (K>2) dont les moyennes (mi, mj, ...) et les variances (s²i, s²j, ...) sont des estimateurs des moyennes (µi, µj, ...) et variances (θ²i, θ²j, ...) des populations d'où sont issus les échantillons. La question posée est : si mi, mj, ... sont différents (ce qui est facile à vérifier), en est-il de même pour µi, µj, ... ?

  • Hypothèse nulle : "H0 : µi = µj = ..."
  • Hypothèse alternative : "H1 : il existe au moins une moyenne différente des autres"


Si les moyennes µi, µj, ... ne sont pas toutes identiques, leurs estimations mi, mj, ... différeront également. Le test consiste donc à calculer la dispersion des moyennes calculées. L'Anova, ou Analyse de la Variance, repose sur le rapport de 2 estimations de la variance du paramètre mesuré :

  • la première est la variance entre populations, ou variance inter-colonnes, qui exprime la variabilité des mesures d'une colonne à l'autre, c'est à dire la variabilité liée aux traitement subis par chaque groupe,
  • la seconde est la variance résiduelle, c'est la variance qui subsiste une fois contrôlée la variabilité liée aux différences entre les sujets (cette variance inter-sujets est la même quelle que soit le groupe).



Ainsi, quand le rapport Variance entre Colonnes / Variance Résiduelle dépasse une certaine limite, c'est que la variabilité est plus grande d'une colonne à l'autre que dans une même colonne, c'est à dire que la variabilité liée au traitement est supérieure à celle liée aux sujets.


  • On définit :
    • N = nombre total de mesures (3 x 10), n = nombre d'individus (ici 10)
    • Si = somme des 3 mesures pour l'individu i, Sg = somme des (30) Si
    • k = nombre de mesures par individu, nombre de colonnes (ici 3)
    • Calcul de la variance inter-traitements ou inter-colonnes :

    formule variance factorielle anova

    • Calcul de la variance résiduelle :

    formule variance residuelle anova


    • Le rapport des 2 suit une loi F de Fisher sous l'hypothèse nulle, il est comparé à la valeur limite fournie par la table de Fisher pour (K - 1) et (N - K) ddl, au seuil de 5% d'erreur :

    formule anova

    • Conditions d'utilisation du test (vérifiées automatiquement par StatEL) :
      • Distribution normale des échantillons
      • Homogénéité des variances / covariances, ainsi que la condition de sphéricité


    Au terme du test d'Anova, l'utilitaire StatEL peur recourir à des tests a posteriori afin de préciser les conclusions de l'Anova si celles-ci révèlent que l'un au moins des groupes se distingue des autres. En effet, dans un tel cas, l'Anova ne permet pas de détecter quelle(s) moyenne(s) est (sont) différente(s) des autres.


    2 - Lancement du test d'analyse de variance pour séries dépendantes :

    StatEL vous demande d'abord de préciser le nombre de groupes que vous souhaitez comparer. Puis, vous devez sélectionner successivement les plages de cellules correspondant aux mesures relatives à chacun des groupes de données. Cette boîte de sélection sera affichée autant de fois que le nombre de groupes de données à étudier. Pour procéder à la sélection, il vous suffit de cliquer sur la première cellule de la série de données et de faire glisser la souris jusqu'à la dernière valeur.

    Nota bene : afin d'identifier au mieux les différents groupes de mesures, la première cellule de chaque série doit impérativement contenir le nom du groupe. Ce nom servira d'entête aux groupes étudiés sur la feuille des résultats.


    Nota bene : dans l'Anova pour séries appariées, le nombre de mesures est censé être le même pour chaque série. Toutefois, le test saura gérer les données manquantes à condition que pour chaque série, la sélection porte exactement sur le même nombre de cellules (vides ou non). La procédure de sélection tournera en boucle tant que vous n'aurez pas sélectionné autant de cellules qu'à la sélection précédente.


    Ensuite, dans le cas où le calcul a effectivement détecté une différence significative entre les moyennes des différents groupes, une boîte de dialogue vous propose de pratiquer 5 tests a posteriori. Vous êtes libre de choisir parmi

    • le test de Fisher accompagné des corrections de Bonferroni et de Sidak,
    • le test HSD de Tuckey,
    • le test de Stdent, Newman & Keuls,
    • le test de Ryan,
    • le test de Dunnett particulier à la situation où un groupe sert de témoin parmi ceux étudiés, dans ce cas, StatEL attendra que vous ayez sélectioné le nom de celui-ci dans la liste déroulante avant d'exécuter les tests à pratiquer.

    anova test posteriori Fisher Bonferroni Sidak Tuckey HSD Dunnett Student Newman Keuls Ryan REGW

    Validez vos choix en cliquant sur le bouton "OK".



    3 - Résultats du test d'analyse de variance pour séries dépendantes :

    Le résultat du test d'analyse de variance apparaît sur une nouvelle feuille de votre classeur Excel :

    • Sur la partie gauche de la feuille sont affichés, sous forme de tableau, les données sélectionnées.
    • Sur la partie droite de la feuille sont affichés les tableaux des moyennes, écart-types et les résultats des calculs intermédiaires, ainsi que les conclusions du test. En cas de résultat permettant de rejeter significativement l'hypothèse H0, c'est à dire si le test conclue qu'une moyenne au moins se distingue significativement des autres, les conclusions ainsi que la probabilité d'erreur sont écrites en rouge.
    • En cas de non respect des conditions d'utilisation de l'ANOVA, cela vous est signalé en rouge, de même il vous est indiqué le nom du test non-paramétrique analogue au test d'ANOVA que vous pouvez utiliser.

    anova


    Dans l'exemple présenté, le logiciel StatEL explique clairement qu'il existe au moins une moyenne qui diffère significativement des autres, et que le risque de se tromper est inférieur à 0,0013.

    Il est notamment précisé à l'utilisateur que les conditions d'utilisation de ce test sont respectées (conditions vérifiées par StatEL de façon transparente à l'utilisateur) ; il peut donc se fier à la conclusion présentée.

    • Les tests a posteriori sont présentés à la suite des conclusions sur l'Anova, à condition que plus de 2 groupes aient été étudiés.

    anova test posteriori Fisher Bonferroni Sidak Tuckey HSD Dunnett Student Newman Keuls Ryan REGW

    Dans l'exemple présenté, le logiciel StatEL explique clairement que vis à vis du médicament témoin, seuls les sujets à qui on a administré la molécule N°1 présentent une moyenne significativement différente, avec risque de se tromper inférieur à 0,01 (cf. Test de Dunnett).

    Les autres tests a posteriori détectent également que le groupe "Témoin" diffère significativement du groupe "Mol. 1", lequel diffère également du groupe "Mol. 2". Cela permet de procéder au regroupement des moyennes du groupe témoin et du groupe "Mol. 2" (non significativement différentes), distinctes de la moyenne du groupe "Mol. 1".


    Des graphiques en "Boîte à Moustaches" viennent automatiquement illustrer ces résultats :

    anova boite moustache
     

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